Question

如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在圆上运动时．

（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点T（0，t）作圆的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设出M的坐标为（x，y），点P的坐标为，由题意DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|，找出与x的关系及与y的关系，记作①，根据P在圆上，将P的坐标代入圆的方程，记作②，将①代入②，即可得到点M的轨迹方程；（Ⅱ）由过点T（0，t）作圆的切线l交曲线C于A，B两点，得到|t|大于等于圆的半径1，分两种情况考虑：（i）当t=1时，确定出切线l为x=1，将x=1代入M得轨迹方程中，求出A和B的坐标，确定出此时|AB|的长，当t=-1时，同理得到|AB|的长；（ii）当|t|大于1时，设切线l方程为y=kx+t，将切线l的方程与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，设A和B的坐标，利用根与系数的关系表示出两点横坐标之和与之积，再由切线l与圆相切，得到圆心到切线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后得到k与t的关系式，然后利用两点间的距离公式表示出|AB|，将表示出的两根之和与两根之积，以及k与t的关系式代入，得到关于t的关系，利用基本不等式变形，得到|AB|的最大值，以及此时t的取值，而三角形AOB的面积等于AB与半径r乘积的一半来求，表示出三角形AOB的面积，将|AB|的最大值代入求出三角形AOB面积的最大值，以及此时T的坐标即可

试题解析：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），

则x=x0，y=2y0，所以x0=x，y0=，①

因为P（x0，y0）在圆x2+y2=1上，所以x02+y02=1②，

将①代入②，得点M的轨迹方程C的方程为x2+=1；

（Ⅱ）由题意知，|t|≥1，

（i）当t=1时，切线l的方程为y=1，点A、B的坐标分别为（﹣，1），（，1），

此时|AB|=，当t=﹣1时，同理可得|AB|=；

（ii）当|t|＞1时，设切线l的方程为y=kx+t，k∈R，

由，

得（4+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0③，

设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

由③得：x1+x2=﹣，x1x2=，

又直线l与圆x2+y2=1相切，得=1，即t2=k2+1，

∴|AB|==

=，

又|AB|==≤2，且当t=±时，|AB|=2，

综上，|AB|的最大值为2，

依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2+y2=1的半径，

∴△AOB面积S=|AB|×1≤1，

当且仅当t=±时，△AOB面积S的最大值为1，

相应的T的坐标为（0，﹣）或（0，）．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；直线与圆相交的性质