Question

从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差。（同一组数据用该区间的中点值作代表）

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，

其中近似为样本平均数，近似为样本方差．

（i）利用该正态分布，求；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（i）的结果，求（可以直接利用所学的分布期望公式）．

附：≈12．2．

若～，则=0．6826，=0．9544．

Answer

（Ⅰ）200,150 （Ⅱ）0．6826，68．26

【解析】

试题分析：（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187．8＜Z＜212．2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0．6826），运用EX=np即可求得

试题解析：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为

＝170×0．02＋180×0．09＋190×0．22＋200×0．33＋210×0．24＋220×0．08＋230×0．02＝200．

s2＝（－30）2×0．02＋（－20）2×0．09＋（－10）2×0．22＋0×0．33＋102×0．24＋202×0．08＋302×0．02＝150．…6分

（2）（i）由（1）知，Z～N（200，150），

从而P（187．8＜Z＜212．2）＝P（200－12．2＜Z＜200＋12．2）＝0．682 6．

（ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间（187．8，212．2）的概率为0．682 6，

依题意知X～B（100，0．682 6），

所以EX＝100×0．682 6＝68．26．

考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差