Question

已知.

（1）讨论的单调性；

（2）若有且仅有两个整数，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先求导，得，对分成三类来讨论函数的单调性；（2）若有且仅有两个整数，成立，则有两个整数解，分离参数后有，设，利用导数求出的单调区间，画出函数的草图，根据图象与性质列不等式组，解得.

试题解析：

（1）因，所以，当时，在上恒成立，即在上单调递减；当时， 的解集为，即在上单调递增；在上单调递减；当时， 的解集为，即在上单调递增；在上单调递减.

（2）若有且仅有两个整数，成立，则有两个整数解，因为，当时，，当时，，所以， 有两个整数解，设，则，令，则，，所以，使得在为增函数，在为减函数， 有两个整数解的充要条件是，解得 .

考点：函数导数与不等式.

【方法点晴】本题的方法和两题的方法类似. 解决函数零点有关的问题，思路就是先令这个函数等于零，然后对式子进行分离参数，如本题中分离参数，得，令.然后利用导数这个工具，求出的单调区间、极极值，结合图象，就可以求解.这类题型很多，还有一个解法是化成两个函数，然后利用两个函数图象的交点个数来解题.