Question

已知定点是圆为圆心)上的动点，的垂直平分线与交于点.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）直线与轨迹交于两点，与抛物线交于两点，且抛物线在点处的切线垂直相交于，设点到直线的距离为，试问：是否存在直线，使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）不存在，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）依题意有：，所以的轨迹为椭圆，方程为；（2）先假设直线的方程和相关点的坐标，联立直线的方程和抛物线的方程，求得两点坐标关系，根据，求得.利用切线求出，计算点到直线的距离.联立直线的方程和椭圆的方程，利用弦长公式，求得，再根据，化简得，此方程无解，所以不存在直线，使得 .

试题解析：

（1）依题意有：，故动点的轨迹为以为焦点，长轴为的椭圆. 于是：，从而，故动点的轨迹方程为：.

（2）设直线，

由，得：，故.

由得：，即切线斜率.

于是：，由得；，

解得：，这说明直线过抛物线的焦点，

由得：

即.

于是：点到直线的距离，

由得：，

从而，

同理：，由得，

化简整理，得：，此方程无解，所以不存在直线，使得 .

考点：直线与圆锥曲线位置关系.

【方法点晴】直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．