Question

如图所示，平面平面分别为中点.

（1）证明：平面平面；

（2）若，点为棱的三等分点(近)，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求棱的长度.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）要证明面面垂直，就要先证明线面垂直，本题即是先证平面，要证明平面，可通过面面垂直的性质定理来证明，即证明、平面平面且交线为，根据平行，这个是容易证明的；（2）以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用平面与平面的法向量，求其二面角列方程，从而求出.

试题解析：

（1）证明：分别为中点，平面，且四边形为平行四边形，平面，故平面平面平面平面平面，平面平面，平面平面.

（2）由题可知，四边形是等腰梯形， 有，故以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系，，设，则，点为中点，

点为棱的三等分点(近)，，设平面的一个法向量为，则有，取，设平面

的一个法向量为，则有，取，

设平面与平面所成锐二面角的大小为，则，

解得，.

考点：空间向量与立体几何.