Question

已知函数．

（1）求函数的图象在处的切线方程；

（2）求的最大值；

（3）令．若，求的单调区间．

Answer

（1） （2） （3）见解析

【解析】

试题分析：（1）由题已知函数解析式，求函数在点处的切线方程，可先求导数，再求出该点处的导数值（为斜率），然后代入点斜式方程可得；

（2）由题为求最值，先确定定义域，再求导，求极值，（为开区间，则极值就是最值）比较可得函数的最大值；

（3）由题给出了新函数（含参数），求单调区间，需先求导数，然后对参数分情况讨论，同时要结合的情况，可分析出函数的单调区间。

试题解析：（1）， ，

所以切线方程为即

（2）定义域，=0，

，，单调递增；，，单调递减．

所以是极大值点，是极大值．

因为在上，极值点唯一，所以是最大值．

（3）由，，得．

①当a＝0时，．

若b≤0，当x＞0时，＜0恒成立，所以函数的单调递减区间是．

若b＞0，当0＜x＜时，＜0，函数f（x）单调递减．

当x＞时，＞0，函数单调递增．

所以函数f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是．

②当a＞0时，令＝0，得2ax2＋bx－1＝0．由Δ＝b2＋8a＞0得

＝，＝．

显然，＜0，＞0．

当0＜x＜时，＜0，函数单调递减；

当x＞时，＞0，函数单调递增．

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．

综上所述，当a＝0，b≤0时，函数的单调递减区间是；

当a＝0，b＞0时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是；

当a＞0时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是．

考点：（1）运用导数求最值。（2）运用导数求函数的最值及函数思想。（3）导数与不等式的证明。