Question

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式．其中3＜x＜7，a为常数．已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品11千克．

（1）求a的值；

（2）若该商品的成本为4元/千克，试确定销售价格x（单位：元/千克）的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

Answer

（1）a＝2． （2）x＝5时，函数f（x）取得最大值42．

【解析】

试题分析：（1）由已知的函数关系式，结合条件销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品11千克，

代入解析式可求出a的值。

（2）由（1）已知函数销售量与销售价格的解析式，给出了商品的成本价，可利用；

利润=售价-成本价，建立利润和销售量的函数解析式，再运用导数可求出最值。

试题解析：（1）因为x＝6时，y＝11，所以，＋10＝11，a＝2．

（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y＝＋10（x－7）2，

所以商场每日销售该商品所获得的利润为

f（x）＝（x－4）[＋10（x－7）2]＝2＋10（x－4）（x－7）2，（3＜x＜7）

从而，f′（x）＝10[（x－7）2＋2（x－4）（x－7）]＝30（x－5）（x－7），

令f′（x）＝0，得x=5或x=7（舍去）．

因为当x∈（3，5）时，f′（x）＞0，当x∈（5，7）时，f′（x）＜0，

所以f （x）在（3，7）取得唯一的极大值，也就是最大值．

所以，当x＝5时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42．．

答：当销售价格为5元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

考点：（1）利用函数关系式求值。（2）运用导数求函数的最值。