Question

已知.

（1）若对于公共定义域内的任意恒成立,求实数的取值范围;

（2）设有两个极值点,且,若恒成立,求实数的最大值.

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）分离参数，使问题转化为求函数的最值问题，构造函数，利用导函数的符号确定函数的最值；（2）求导，利用导函数有两个不相等的零点，且，再作差构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值．

试题解析：（1）由题意知，∴（ x＞0）,

设,则,

∵y=x2+ln x-1在（0,+∞）上是增函数,且x=1时,y=0.

∴当x∈（0,1）时, ；

当x∈（1,+∞）时, ；∴在（0,1）单调递减,在（1,+∞）单调递增.

∴,∴a≤1,即a的范围为（-∞,1].

（2）由题意知 （x＞0）,则 （x＞0）,

∴方程2x2-ax+1=0（x＞0）有两个不相等的实根x1,x2,且x1∈（0,）,

又,∴,且ax1=2，ax2=2,

而h（x1）-h（x2）=（-ax1+ln x1）-（-ax2+ln x2）

=[-（2+1）+ln x1]-[-（2+1）+ln x2]

=-+ln x1-ln x2= （x2＞1）.

设（x＞1）

则 ＞0,

∴）在（1,+∞）上是增函数,

∴即

∴

∴m的最大值为.

考点：1.函数的极值与最值；2.导数在研究不等式恒成立中的应用．

【技巧点睛】本题考查函数的单调性、极值和最值、导数在研究不等式恒成立问题的应用，属于综合性较强的难题；处理含参数的不等式恒成立问题，往往是合理分离参数，将问题转化为求函数最值问题；处理含参数的函数零点个数问题，也往往先分离参数，确定某一函数的单调性、极值或最值，借助数形结合思想进行求解.