Question

如图，在四棱锥中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，平面平面ABCD，M是线段AD上一点，AM=AB，.

（1）证明：平面SMC；

（2）若SB与平面ABCD所成角为，N为棱SC上的动点，当二面角为时，求的值。

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）先利用面面垂直的性质和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；（2）根据垂直关系建立空间直角坐标系，利用三点共线得出点的坐标，利用线面角和二面角求其参数，确定比值．

试题解析：（1） 平面平面ABCD，

∴,又

∴

又AM=AB，

∴

∴,即

又为平面内两相交直线，

∴平面SMC

（2）由（1）可如图建系，

设 ,则,

SB与平面ABCD所成角为，∴，∴。

设,,得

由（1） 平面SMC，∴二面角的平面角为.

∴

∴，即

解得：，∴.

法二：平面SMB

平面SMB的一个法向量为

设,,得

可得平面BMN的一个法向量为，（或）

，解得：，∴

另【解析】
SB与平面ABCD所成角为，∴，∴。

由（1） 平面SMC，∴二面角的平面角为.

当时，为的内角平分线。

∴.

考点：1.空间中垂直关系的转化；2.空间向量在立体几何中的应用．

【思路点睛】本题考查空间中垂直关系的相互转化以及利用空间向量求空间角（直线与平面所成的角、二面角），属于中档题；证明空间中的平行或垂直关系，往往要利用线线、线面、面面间的关系的转化，其思想是“立体几何平面化”，求空间角（异面直线所成的角、线面角、二面角）和空间距离，一般思路是借助空间向量，利用直线的方向向量和平面的法向量进行求解，计算量往往较大.