Question

已知函数f（x）=，若存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）．

（Ⅰ）求实数a的取值集合A；

（Ⅱ）若a∈A，且函数g（x）=1g[ax²+（a+3）x+4]的值域为R，求实数a的取值范围．（12分）

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（I）分类讨论，利用二次函数的单调性，结合x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2），即可求得实数a的取值范围；（Ⅱ）由题意可知z=ax2+（a+3）x+4取到一切的正数；当a=0时，z=3x+4取得一切的正数，满足题意；当a＞0，二次函数的图像与x轴最多有一个交点，即判别式△≥0，解得a≥9或0＜a≤1；综上可得，a的范围是．

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）当，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：

存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，

当，即a≥2时，

若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，

则﹣1+a＞a2﹣7a+14，

解得：3＜a＜5，

综上所述：实数a的取值集合是；

（Ⅱ）由题意可得z=ax2+（a+3）x+4取到一切的正数，

当a=0时，z=3x+4取得一切的正数；

当a＞0，判别式△≥0，即为（a+3）2﹣16a≥0，

解得a≥9或0＜a≤1．

综上可得，a的范围是，

即为．

考点：二次函数的图像和性质.