Question

某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取50名文科学生，调查对选做题倾向得下表：

（Ⅰ）从表中三种选题倾向中，选择可直观判断“选题倾向与性别有关系”的两种，作为选题倾向变量的取值，分析有多大的把握认为“所选两种选题倾向与性别有关系”.（只需要做出其中的一种情况）

（Ⅱ）按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷.

（ⅰ）分别求出抽取的8人中倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数；

（ⅱ）若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为，求的分布列及数学期望.

Answer

（Ⅰ）有99%以上的把握，认为“‘坐标系与参数方程’和‘平面几何选讲’这两种选题倾向与性别有关”；有99.9%以上的把握，认为“‘不等式选讲’和‘平面几何选讲’这两种选题倾向与性别有关”.

（Ⅱ）（ⅰ）倾向“平面几何选讲”的人数为5，倾向“坐标系与参数方程”的人数为3；（ⅱ）分布列见解析，.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意得到可直观判断的三种选题倾向；

任选一选择倾向“平面几何选讲”和倾向“坐标系与参数方程”作为选题倾向变量的值.作出如下2×2列联表，代入公式，得到，由此可得有99%以上的把握，认为“‘坐标系与参数方程’和‘平面几何选讲’这两种选题倾向与性别有关”；

任选二选择倾向“平面几何选讲”和倾向“不等式选讲”作为分类变量的值.作出如下2×2列联表，代入公式，得到，由此可得有99.9%以上的把握，认为“‘不等式选讲’和‘平面几何选讲’这两种选题倾向与性别有关”；

（Ⅱ）（ⅰ）根据倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为20：12＝5：3，可得倾向“平面几何选讲”的人数为5，倾向“坐标系与参数方程”的人数为3；（ⅱ）依题意，得，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及数学期望．

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）可直观判断：倾向“坐标系与参数方程”或倾向“不等式选讲”，与性别无关；倾向“坐标系与参数方程”或倾向“平面几何选讲”，与性别有关；倾向“平面几何选讲”或倾向“不等式选讲”，与性别有关. （正确选择一组变量并指出与性别有关即给1分）

选择一：选择倾向“平面几何选讲”和倾向“坐标系与参数方程”作为选题倾向变量的值.作出如下2×2列联表：

平面几何选讲

坐标系与参数方程

合计

男生

16

4

20

女生

4

8

12

合计

20

12

32

由上表，可直观判断：

因为 ，

所以可以有99%以上的把握，认为“‘坐标系与参数方程’和‘平面几何选讲’这两种选题倾向与性别有关”.

选择二：选择倾向“平面几何选讲”和倾向“不等式选讲”作为分类变量的值.作出如下2×2列联表：

平面几何选讲

不等式选讲

合计

男生

16

6

22

女生

4

12

16

合计

20

18

38

因为，

所以可以有99.9%以上的把握，认为“‘不等式选讲’和‘平面几何选讲’这两种选题倾向与性别有关”.

（Ⅱ）（ⅰ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为20：12＝5：3，

所以抽取的8人中倾向“平面几何选讲”的人数为5，倾向“坐标系与参数方程”的人数为3.

（ⅱ）依题意，得，

， ，

， .

故的分布列如下:

－3

－1

1

3

所以.

考点：独立性检验；分层抽样；离散型随机变量的概率与数学期望.