Question

如图在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,∠ABC=90°，,,E是线段PC的中点.

（Ⅰ）求证：DE//面PAB；

（Ⅱ）求二面角D-CP-B的余弦值.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证，只要证明平行于平面PAB内的一条直线即可，由E为PC的中点，可联想找AC的中点O，连BO、DO后，证明是平行四边形即可证得；又，得，从而得；

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角D-CP-B的余弦值．

试题解析：

（Ⅰ）证明：设线段AC的中点为O，连接OD,OE.

因为∠ABC=90°，，同理，

又,故四边形是平行四边形，所以，

O,E分别是PC,AC的中点，所以，

OD与OE相交，AP和AB相交，OE在面ODE中，PA,AB在面PAB中，

，而，故.

（Ⅱ）因为AB⊥BC,PA⊥面ABCD,以B为原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，过点B做平行于的直线做z轴正方向建立空间直角坐标系.

则

设面PBC的法向量为

则

，

设面DPC的法向量为

则

，

，

二面角D-CP-B的余弦值为.

考点：直线与平面平行的判定；利用空间向量求线面角和面面角.