Question

设数列A： ， ,…, (N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有＜，则称n是数列A的一个“G时刻”.记是数列A的所有“G时刻”组成的集合.

（Ⅰ）对数列A：−2，2，−1，1，3，写出的所有元素；

（Ⅱ）证明：若数列A中存在使得>，则；

（Ⅲ）证明：若数列A满足−≤1（n=2,3, …,N）,则的元素个数不小于−.

Answer

（Ⅰ）的元素为和；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）关键是理解“G时刻”的定义，根据定义即可写出的所有元素；

（Ⅱ）要证，即证中含有一元素即可；

（Ⅲ）当时，结论成立.只要证明当时结论仍然成立即可.

试题解析：（Ⅰ）的元素为和.

（Ⅱ）因为存在使得，所以.

记，

则，且对任意正整数.

因此，从而.

（Ⅲ）当时，结论成立.

以下设.

由（Ⅱ）知.

设.记.

则.

对，记.

如果，取，则对任何.

从而且.

又因为是中的最大元素，所以.

从而对任意，，特别地，.

对.

因此.

所以.

因此的元素个数p不小于.

【考点】数列、新定义问题.

【名师点睛】数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，或)等.