Question

如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD?若存在，求的值；若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理知AB⊥平面，根据线面垂直的性质定理可知，再由线面垂直的判定定理可知平面；（Ⅱ）取的中点，连结，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法可求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假设存在，根据A，P，M三点共线，设，根据BM∥平面PCD，即（为平面PCD的法向量），求出的值，从而求出的值.

试题解析：（Ⅰ）因为平面平面，，

所以平面.

所以.

又因为，

所以平面.

（Ⅱ）取的中点，连结.

因为，所以.

又因为平面，平面平面，

所以平面.

因为平面，所以.

因为，所以.

如图建立空间直角坐标系.由题意得，

.

设平面的法向量为，则

即

令，则.

所以.

又，所以.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得.

因此点.

因为平面，所以平面当且仅当，

即，解得.

所以在棱上存在点使得平面，此时.

【考点】空间线面垂直的判定定理与性质定理；线面角的计算；空间想象能力，推理论证能力

【名师点睛】平面与平面垂直的性质定理的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.