Question

已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，.

（Ⅰ）当时，求的面积

（Ⅱ） 当时，证明：.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）设，则由题意知.

由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.

又，因此直线的方程为.

将代入得.

解得或，所以.

因此的面积.

（Ⅱ）将直线的方程代入得

.

由得，故.

由题设，直线的方程为，故同理可得.

由得，即.

设，则是的零点，，所以在单调递增.又，因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.

【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系

【名师点睛】对于直线与椭圆的位置关系问题，通常将直线方程与椭圆方程联立进行求解，注意计算的准确性.

请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.