Question

已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.

试题解析：（I）的定义域为.当时，

，

曲线在处的切线方程为

（II）当时，等价于

设，则

，

（i）当，时， ，故在上单调递增，因此；

（ii）当时，令得

.

由和得，故当时，，在单调递减，因此.

综上，的取值范围是

【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性

【名师点睛】求函数的单调区间的方法：

（1）确定函数y＝f（x）的定义域；

（2）求导数y′＝f′（x）；

（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．