Question

已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax²﹣2bx﹣a+b，x∈[0，1]．

（Ⅰ）当a=b=2时，求函数f（x）的最大值；

（Ⅱ）证明：函数f（x）的最大值|2a﹣b|+a；

（Ⅲ）证明：f（x）+|2a﹣b|+a≥0．

Answer

（Ⅰ）f（x）的最大值为4；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出当a=b=2时，f（x）的解析式，求出对称轴，求得端点的函数值，可得f（x）的最大值；

（Ⅱ）求出对称轴，讨论区间和对称轴的关系，结合单调性，可得最大值；

（Ⅲ）要证f（x）+|2a﹣b|+a≥0恒成立，只需证f（x）min+|2a﹣b|+a≥0，设f（x）的最小值为m，最大值为M，由（Ⅱ）得M=|2a﹣b|+a，求出对称轴，讨论对称轴和区间[0，1]的关系，可得最值，即可证明M+m＞0．

【解析】
（Ⅰ）当a=b=2时，f（x）=8x2﹣4x，x∈[0，1]．

对称轴为x=，f（0）=0，f（1）=4，

可得f（x）的最大值为4；

（Ⅱ）证明：f（x）的对称轴为x=，

当＞1时，区间[0，1]为减区间，

可得f（x）的最大值为f（0）=b﹣a，

由b＞4a＞2a，可得|2a﹣b|+a=b﹣2a+a=b﹣a，

则f（0）=|2a﹣b|+a；

当＜0时，区间[0，1]为增区间，

可得最大值为f（1）=3a﹣b，

由b＜0，可得|2a﹣b|+a=2a﹣b+a=3a﹣b=f（1）；

当0≤≤1时，区间[0，]为减区间，[，1]为增区间，

若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得最大值为f（1）=3a﹣b=|2a﹣b|+a；

若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得最大值为f（0）=b﹣a=|2a﹣b|+a．

综上可得函数f（x）的最大值|2a﹣b|+a；

（Ⅲ）证明：要证f（x）+|2a﹣b|+a≥0恒成立，

只需证f（x）min+|2a﹣b|+a≥0，

设f（x）的最小值为m，最大值为M，由（Ⅱ）得M=|2a﹣b|+a，

由f（x）的对称轴为x=，

当＞1时，区间[0，1]为减区间，可得m=f（1）=3a﹣b，

则M+m=b﹣2a+a+3a﹣b=2a＞0；

当＜0时，区间[0，1]为增区间，可得m=f（0）=b﹣a，

M=f（1）=3a﹣b，则M+m=2a＞0；

当0≤≤1时，区间[0，]为减区间，[，1]为增区间，

可得m=f（）=，

若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得M=f（1）=3a﹣b，

M+m=≥=a＞0；

若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得M=f（0）=b﹣a，

M+m==，

由于2a＜b≤4a，可得M+m∈（a，2a]，即为M+m＞0．

综上可得M+m＞0恒成立，

即有f（x）+|2a﹣b|+a≥0．