Question

已知函数f（x）=x²+4[sin（θ+）]x﹣2，θ∈[0，2π]]．

（Ⅰ）若函数f（x）为偶函数，求tanθ的值；

（Ⅱ）若f（x）在[﹣，1]上是单调函数，求θ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）﹣；（Ⅱ）≤θ≤，或0≤θ≤．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．

（Ⅱ）利用一元二次函数的单调性的性质进行判断即可．

【解析】
（Ⅰ）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），

则x2+4[sin（θ+）]x﹣2=x2﹣4[sin（θ+）]x﹣2，

则sin（θ+）=0，

∵θ∈[0，2π]，

∴θ+=kπ，

即θ=﹣+kπ，

∴tanθ=tan（﹣+kπ）=﹣．

（Ⅱ）∵f（x）=x2+4[sin（θ+）]x﹣2，θ∈[0，2π]]．

∴对称轴为x=﹣2sin（θ+），

若f（x）在[﹣，1]上是单调函数，

则﹣2sin（θ+）≥1或﹣2sin（θ+）≤，

即sin（θ+）≥或sin（θ+）≤，

即2kπ+≤θ+≤2kπ+，或2kπ+≤θ+≤2kπ+，k∈Z，

即2kπ+≤θ≤2kπ+，或2kπ≤θ≤2kπ+，k∈Z，

∵θ∈[0，2π]，

∴≤θ≤，或0≤θ≤．