Question

如图，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若的面积为, 求椭圆的方程．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由题意知为等边三角形，从而得到的关系式，进而求得离心率；（2）首先根据椭圆的性质得到的关系式，然后设出直线的方程，并代入椭圆方程得到点坐标，从而求得，再根据三角形面积公式求得的值，进而求得椭圆的方程；别【解析】
设，然后利用椭圆的定义表示出的长，再利用余弦定理得到的关系式，从而根据三角形面积公式求得的值，进而求得椭圆的方程．

试题解析：（1）由题意可知，为等边三角形，，所以.

（2） （ 方法一），.

直线的方程可为．

将其代入椭圆方程，得

所以

由，

解得，，

（方法二）设. 因为，所以．

由椭圆定义可知，．

再由余弦定理可得，．

由知，，，

考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．