Question

已知函数.

（1）讨论的单调性与极值点；

（2）若，证明：当时，的图象恒在的图象上方；

（3）证明：.

Answer

（1）当时，在单调递增，无极值点，当时，在和上单调递增，在上单调递减，极大值点为，极小值点为；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求导，得，当时，，所以在单调递增，此时无极值点. 当时，在和上单调递增，在上单调递减.

为极大值点，为极小值点；（2）当时，令，通过导数判断在上递减，在上递增，，∴时，恒成立；（3）由（2）知，即，，令，则，∴，代入不等式即可证明.

试题解析：

（1），

当时，在上恒成立，

所以在单调递增，此时无极值点.

当时，，在上的变化情况如下表：

1

+

-

+

递增

极大值

递减

极小值

递增

由此表可知在和上单调递增，在上单调递减.

为极大值点，为极小值点.

（2）当时，令，

，当时，，时，，

∴在上递减，在上递增，

∴，∴时，恒成立.

即时，恒成立，

∴当时，的图象恒在的图象上方.

（3）由（2）知，即，

∵，∴，

令，则，∴

∴

∴不等式成立.

考点：1.函数导数；2.分类讨论的数学思想；3.不等式证明.

【方法点晴】有关导数极值、最值的分类讨论问题，按步骤，先求导，通分，在画导函数图像的过程中，发现有参数无法确定，这个时候就要对参数进行分类讨论. 要证明“当时，的图象恒在的图象上方”，实际就是要证明恒成立，这样只需要利用导数即可证明.