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已知椭圆的离心率为,短半轴长为1. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆的短轴端点...

已知椭圆的离心率为,短半轴长为1.

1)求椭圆的方程;

2)设椭圆的短轴端点分别为,点是椭圆上异于点的一动点,直线分别与直线两点,以线段为直径作圆.

①当点轴左侧时,求圆半径的最小值;

②问:是否存在一个圆心在轴上的定圆与圆相切?若存在,指出该定圆的圆心和半径,并证明你的结论;若不存在,说明理由.

 

(1);(2)①;②存在,证明见解析. 【解析】 试题分析:(1)因为的离心率为,短半轴长为1,结合联立方程组可求得,所以方程为;(2)①设,所以直线的方程为:,令,求出,则,故最小值为;②当在左端点时,圆的方程为,当在右端点时,设,,,所以直线的方程为:,令,得到同理得到,由前一问知圆的半径,因为,,圆的圆心坐标为,圆心距,故存在一个圆心在轴上的定圆与圆相切,该定圆的圆心为和半径. 试题解析: 【解析】 (1)因为的离心率为,短半轴长为1. 所以,得到, 所以椭圆的方程为. (2)①设 所以直线的方程为: 令,得到同理得到,得到 所以,圆半径 当时,圆半径的最小值为3. ②当在左端点时,圆的方程为 当在右端点时,设,, 所以直线的方程为: 令,得到同理得到, 圆的方程为:, 易知与定圆相切,半径. 由前一问知圆的半径 因为,,圆的圆心坐标为 圆心距, 当时,,此时定圆与圆内切; 当时,,此时定圆与圆外切; 存在一个圆心在轴上的定圆与圆相切,该定圆的圆心为和半径. (注:存在另一个圆心在轴上的定圆与圆相切,该定圆的圆心为和半径,得分相同) 考点:直线与圆锥曲线的位置关系. 【方法点晴】1.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查,一直是高考考查的重点,特别是焦点弦和中点弦等问题,涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法,也是考查数学思想方法的热点题型.2. 涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.  
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考点分析:
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由4个直角边为的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形,沿折起,使平面平面.

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2015年7月9日21时15分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆,造成165.17万人受灾, 5.6万人紧急转移安置,288间房屋倒塌,46.5千公顷农田受灾,直接经济损失12.99亿元,距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响,适逢暑假,小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失,将收集的数据分成 五组,并作出如下频率分布直方图(图1):

(1)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失;

(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(2)小明向班级同学发出倡议,为该小区居民捐款,现从损失超过6000元的居民中随机

抽出2户进行捐款援助,求抽出的2户居民损失均超过8000元的概率;

(3)台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的50户居民捐款情况如下表,

在图2表格空白外填写正确数字,并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额超过或

不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关?

 

经济损失不超过4000元

经济损失超过4000元

合计

捐款超过500元

30

 

 

捐款不超过500元

 

6

 

合计

 

 

 

 

附:临界值参考公式: .

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

 

 

 

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