Question

由4个直角边为的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形，沿折起，使平面平面.

（1）求证：；

（2）求二面角的正切值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）作于，连结.∵等腰，∴点为的中点.而等腰,∴，而，∴平面，∴；（2）作于，连结，∵平面平面，∴平面.∵等腰，∴点为的中点，而等腰，∴.由此建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

试题解析：

法一：（1）作于，连结.

∵等腰，∴点为的中点.

而等腰,∴，而，

∴平面，∴.

（2）∵等腰和等腰，

∴，∴.

又∵平面平面，平面平面，

∴平面，作，连结，

即为二面角的平面角.

在中，，，，

∴，∴二面角的正切值为2.

法二：（1）作于，连结，∵平面平面，∴平面.

∵等腰，∴点为的中点，而等腰，

∴.

如图，建立空间直角坐标系，

∴，，，，，，

，，∵，∴.

（2）显然平面的法向量，

平面中，，，

∴平面的法向量，

∴，∴，

∴二面角的正切值为2.

考点：1.立体几何证明；2.空间向量法求面面角的正切值.