Question

已知数列是递增的等比数列，满足，且是、的等差中项，数列满足，其前项和为，且.

（1）求数列，的通项公式；

（2）数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）设等比数列的公比为，，，用基本元的思想，化为，的，解方程即可求出，从而.同样用基本元的思想，将化为，即，求出，进而求得；（2）先求出，对题目的不等式进行分离参数得对一切恒成立，然后利用基本不等式可求得.

试题解析：（1）设等比数列的公比为，则，，

∵是的等差中项，∴，即.

∵，∴，∴.

依题意，数列为等差数列，公差，

又，∴，∴，

∴

（2）∵，∴.

不等式化为，∵，

∴对一切恒成立.

而，

当且仅当即时等号成立，∴.

考点：数列.