Question

如图，在四棱锥中，平面，，

（1）若为的中点,求证:平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用是中位线，从而，又，，所以四边形为平行四边形，故，从而证平面；（2）转换三棱锥顶点可得：，易知是棱锥的高，从而求其体积．

试题解析：（1）如图,取PB的中点N,连接MN,CN.在△PAB中,∵M是PA的中点,

∴MN∥AB,MN=AB=3,又CD∥AB,CD=3,∴MN∥CD,MN=CD,

∴四边形MNCD为平行四边形,∴DM∥CN.

又DM⊄平面PBC,CN⊂平面PBC,

∴DM∥平面PBC.

（2）==S△DBC·PD,又S△DBC=6,PD=,所以=.

考点：1、线面平行；2、三棱锥体积．

【方法点晴】本题主要考查的是线面平行、三棱锥的体积及空间想象力，属于中档题．解题时一定要注意中点这个条件的暗示作用，一般要利用中位线得到直线平行，如果中位线不行，考虑构造平行四边形，利用平行四边形得线线平行，从而得线面平行，也可考虑面面平行得线面平行．在求三棱锥体积时，如果高不易寻找，可考虑变换三棱锥顶点，从而易于求高．