Question

平面直角坐标系中，直线截以原点为圆心的圆所得的弦长为.

（1）求圆的方程；

（2）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于，当长最小时，求直线的方程；

（3）设是圆上任意两点，点关于轴的对称点为，若直线分别交于轴于点和，问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）定值为.

【解析】

试题分析：（1）运用直线与圆相交的基本关系建立方程即可得到答案；（2）运用基本不等式及题设条件即可获解；（3）通过建立方程和方程组，最后再运用所学知识进行分析推知即可.

试题解析：

（1）因为点到直线的距离为，

所以圆的半径为，故圆的方程为.

（2）设直线的方程为，即，

由直线与圆相切，得，即，

，

当且仅当时取等号，此时直线的方程为.

（3）设，则，，，

直线与轴交点，，

直线与轴交点，，

，

故为定值2.

考点：圆的标准方程及直线的方程、基本不等式及灵活运用、运算求解能力和推理论证能力.

【易错点晴】直线与圆是江苏高考考点中的八大级考点之一，因此直线与圆的问题也是江苏高考重点考查的必考内容之一.本题在求解时主要对运算求解能力的要求较高，无论是求直线的方程和圆的方程，还是第（3）问中的探究定值都要求计算能力特别强才能过关，如果运算能力不过关，则很难获得答案，特别是第（3）问中的定值推证的过程中，要求对含字母的代数式的运算必须相当熟练，否则很难获得定值的结果.