Question

设函数f（x）=在[1，+∞上为增函数。

（1）求 正实数a的取值范围. 

（2）若a=1，求证：（n∈N*且n≥2）

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）首先求函数的导数，将问题转化为当时，恒成立，又根据，转化为；（2）由（1）可知，函数在单调递增，当时，得到，并通过累加法得到不等式的左边，对于不等式的右边的证明，设，判断函数的单调性，当时，得到，通过累加法得到不等式的右边.

试题解析：（1）由已知：

依题意得：≥0对x∈恒成立

∴ax－1≥0对x∈恒成立 ∴a－1≥0即：a≥1

（2）∵a=1 ∴由（1）知：f（x）=在上为增函数，

∴n≥2时：f（）=

即： ∴

设g（x）=lnx－x x∈， 则对恒成立，

∴g（x）在为减函数

∴n≥2时：g（）=ln－