Question

已知函数f(x)＝lnx－ax²＋(2－a)x.

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f(＋x)＞f(－x)；

（3）若函数y＝f(x)的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，证明：f′(x₀)＜0.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）第一步，先求函数的导数，并且注意函数的定义域，第二步，将导数通分，并分解因式，写成，第三步，在定义域内，讨论当，和时，导数和的结果；（2）设函数，求函数的导数，并判断时，函数的单调性，并且计算，得到不等关系；（3）由（1）可得，，根据条件设，由（2）得到，从而得到，根据（1）得到结果.

试题解析：（1）f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝.

(ⅰ)若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)单调增加．

(ⅱ)若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝，且当x∈(0，)时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，)单调增加，在(，＋∞)单调减少．

（2）证明：设函数g(x)＝f(＋x)－f(－x)，则

g (x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax， g′(x)＝.

当0＜x＜时，g′(x)＞0，而g(0)＝0，所以g(x)＞0.

故当0＜x＜时，f(＋x)＞f(－x)．

（3）证明：由（1）可得，当a≤0时，函数y＝f(x)的图象与x轴至多有一个交点，故a＞0，从而f(x)的最大值为f()，且f()＞0.

不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，0＜x1＜x2， 则0＜x1＜＜x2.

由（2）得f(－x1)＝f(＋－x1)＞f(x1)＝0.

从而x2＞－x1，于是x0＝. 由（1）知，f′(x0)＜0.

考点：1.导数的综合应用；2.分类讨论思想.

【思路点睛】本题考查了导数的综合应用问题，属于中高档题型，第一问的关键是正确求函数的导数，并且化简到易讨论的式子，注意函数的定义域，然后讨论得到函数的单调区间，第二问选择构造函数，通过导数求函数在的单调性和最小值证明不等式.