Question

已知椭圆的焦距为2，左右焦点分别为、，以原点为圆心，以椭圆的半短轴长为半径的圆与直线相切

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点的直线与椭圆交于两点

(i)若直线与的斜率分别是且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标

(ii)若直线的斜率是直线斜率的等比中项，求面积的取值范围

Answer

（1）；（2）（i）直线过定点，该定点的坐标为；（ii）面积的取值范围为

【解析】

试题分析：（1）由题意可得，由直线和圆相切的条件，可得，进而得到，即有椭圆方程；

（2）（i）设，将直线方程代入椭圆方程，运用，以及韦达定理，结合直线的斜率公式，可得，进而得到直线恒过定点；

（ii）由直线的斜率是直线斜率的等比中项，即有

，运用韦达定理，可得，再由点到直线的距离公式和弦长公式，运用三角形的面积公式，结合基本不等式可得面积的最大值，即有面积的取值范围．

试题解析：（1）由已知得

又

所以，椭圆的方程为

（2）由得

即 （*）

设，则

（i）由，得

即

因此，直线过定点，该定点的坐标为

（ii）由于直线的斜率是直线斜率的等比中项，

代入（*）式得

设点到直线的距离

，所以，面积的取值范围为

考点：椭圆的简单性质

【名师点睛】本题考查椭圆的方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．解题时

注意运用直线与圆相切的条件：，考查直线恒过定点的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查三角形的面积的范围，注意运用等比数列的中项的性质和韦达定理及弦长公式，以及点到直线的距离公式，