Question

已知函数

（1）若在点处的切线与直线垂直，求实数的值

（2）求函数的单调区间；

（3）讨论函数在区间上零点的个数

Answer

（1）；（2）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 ；（3）当时，在区间上有两个零点；当或时，在区间上没有零点； 当或时，在区间上有一个零点

【解析】

试题分析：（1）对求导，令在点处的导数等于直线的斜率即可求得的值；（2）由（1）知对求导，分和讨论即可得到函数的单调区间；（3）由（2）可知在区间上单调的单调性，分，

及的①，②，③ 诸情况讨论即可得到函数在区间上零点的个数情况.

试题解析：（1）的定义域为，

由于直线的斜率为，

（2）由（1）知

当时，，在上单调递增

当时，由，得 ，由，得

在上单调递增，在上单调递减

综上所述：当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为

（3）由（2）可知

当时，在区间上单调递增，，在区间上没有零点

当时，在区间上单调递增，，在区间上有一个零点

当时，①若即时，在区间上单调递减，在区间上没有零点

②若，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，，

若，即时，在区间上没有零点

若，即时，在区间上有一个零点

若，即时，由得，此时在区间上有一个零点

由得，此时在区间上有两个零点

③若即时，在区间上单调递增，，在区间上有一个零点

综上所述，当或时，在区间上有一个零点

当时，在区间上有两个零点

当或时，在区间上没有零点

考点：利用导数研究函数的性质