已知曲线
的极坐标方程是
，以极点为原点，极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线
的参数方程为
（
为参数）.
（1）写出直线与曲线
在直角坐标系下的方程；
（2）设曲线经过伸缩变换
得到曲线
，设曲线上任一点为
，求
的取值范围.
已知函数
.
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）求证函数
在区间
上存在唯一的极值点，并利用二分法求函数取得极值时相应
的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据
）.
已知椭圆
的离心率为
，点
在
上.
（1）求
的方程；
（2）直线
不经过原点
，且不平行于坐标轴，与有两个交点
，线段
中点为
，证明：直线
的斜率与直线
的斜率乘积为定值.
已知直三棱柱
中，
，点
是
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求证：平面
平面
；
（3）若底面
为边长为2的正三角形，
.求三棱锥
的体积.
2013年，首都北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月。经气象局统计，北京市从1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气。《环境空气质量指数（
）技术规定（试行）》将空气质量指数分为六级：其中，中度污染（四级），指数为151-200；重度污染（五级），指数为201-300；严重污染（六级），指数大于300.下面表1是该观测点记录的4天里，指数
与当天的空气水平可见度
（千米）的情况，表2是某气象观测点记录的北京1月1日到1月30日指数频数统计结果，
表1：指数
与当天的空气水平可见度（千米）情况
表2：北京1月1日到1月30日指数频数统计
（1）设变量
，根据表1的数据，求出
关于
的线性回归方程；
（2）根据表2估计这30天指数的平均值.
(用最小二乘法求线性回归方程系数公式
)
等比数列
的各项均为正数，且
.
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，求数列
的前
项和.
