已知直三棱柱中，，点是的中点. （1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3...

已知直三棱柱中，，点是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）若底面为边长为2的正三角形，.求三棱锥的体积.

（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接，由直三棱柱的几何特征及三角形中位线定理，可得，进而由线面平行的判定定理得到结论；（2）先利用面面垂直的性质定理证明直线面，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可（3）三棱锥的体积，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．试题解析：（1）证明：连接交于点，连接因为四边形是矩形，则为的中点，又是的中点，，又面，面，面. （2）证明：是的中点，⊥，又⊥面面，⊥，面，面，平面⊥平面. （3），则（2）知面，所以高就是，所以. 考点：平面与平面垂直的判断，棱锥的体积

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考点分析：

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2013年，首都北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月。经气象局统计，北京市从1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气。《环境空气质量指数（）技术规定（试行）》将空气质量指数分为六级：其中，中度污染（四级），指数为151-200；重度污染（五级），指数为201-300；严重污染（六级），指数大于300.下面表1是该观测点记录的4天里，指数与当天的空气水平可见度（千米）的情况，表2是某气象观测点记录的北京1月1日到1月30日指数频数统计结果，