Question

如图，的两条中线和相交于点，且四点共圆.

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ) 若，求.

Answer

（Ⅰ）见解析； (Ⅱ) ．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连结，根据四点共圆，得到．再据为△的两条中线，得到∥．得证.

(Ⅱ) 由∽，得到，应用割线定理，得到进一步求解.

试题解析： 本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．

解法一：（Ⅰ）连结，因为四点共圆，则．

又因为为△的两条中线，

所以分别是的中点，故∥．

所以，

从而．

（Ⅱ）因为为与的交点，

故为△的重心，延长交于，

则为的中点，且．

在△与△中，因为，，

所以△∽△，

所以，即．

因为，，，

所以，即，

又，所以．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，，

因为四点共圆，所以，

所以∽，所以，

由割线定理，，

又因为是的中线，所以是的重心，

所以,又，

所以，所以，

所以，因为，所以．

考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.切割线定理等基础知识．