Question

已知椭圆，过点的直线与椭圆交于不同两点（在之间），有以下四个结论：

①若，则的取值范围是；

②若是椭圆的右顶点，且的角平分线是轴，则直线的斜率为；

③若以为直径的圆过原点，则直线的斜率为；

④若，椭圆变成曲线，点变成，曲线与轴交于点，则直线与的交点必在一条定直线上.

其中正确的序号是         .

Answer

①④

【解析】

试题分析：①根据③得到，又根据条件可得，代入整理为，整理为，解得，又，所以，当斜率不存在时，此时，故;②根据椭圆关于轴对称，若角平分线是轴，那么关于轴对称，直线斜率不存在，显然错误；③设直线方程，与椭圆方程联立，得到，①，②，，根据条件，当过原点时，满足，代入根与系数的关系，得到，故不正确；④根据点的坐标变换，代入椭圆方程，得到，设，，，,,得到直线，，两式变形得到③，由以上根与系数的关系①/②得到代入③得到，解得，故交点在一条直线上，正确.故填：①④.

考点：1.命题；2.圆锥曲线的综合问题.

【易错点睛】主要考察了圆锥曲线的命题问题，属于高档题型，比较好判断中间两个命题，而对于第一个命题考察了直线与圆锥曲线的位置关系问题，设直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，消参后得到关于的不等式，计算量比较大，容易出错在忘了当斜率不存在时的情况，导致错误，所以在有限的时间判断此题时也可考虑两个临界情况，一是相切时，，因为有两个交点，所以，二是斜率不存在时，此时，能取到，这样就比较好选择此问.