Question

设数列的前n项和为，若对于任意的正整数n都有.

（1）设，求证：数列是等比数列，

（2）求出的通项公式。

（3）求数列的前n项和T_n.

Answer

（1）详见解析（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）利用对于任意的正整数都成立，推出，推出，构造新数列是等比数列；（2）由（1）求出，然后求的通项公式；（3）通过（2）的结果，推出数列的表达式，利用错位相减法求出数列的前n项和

试题解析：（1）∵Sn=2an﹣3n，对于任意的正整数都成立，

∴Sn﹣1=2an﹣1﹣3n﹣3，

两式相减，得a n+1=2an+1﹣2an﹣3，即an+1=2an+3，

∴an+1+3=2（an+3），∴bn+1=2 bn

所以数列{bn}是以2为公比的等比数列，

（2）由已知条件得：S1=2a1﹣3，a1=3．

∴首项b1=a1+3=6，公比q=2，

∴an=62n﹣1﹣3=32n﹣3．

（3）∵nan=3×n2n﹣3n

∴Tn=3（12+222+323+…+n2n）﹣3（1+2+3+…+n），

2Tn=3（122+223+324+…+n2n+1）﹣6（1+2+3+…+n），

∴﹣Tn=3（2+22+23+…+2n）+3（1+2+3+…+n）=

∴

考点：等比数列的证明；数列求通项公式；错位相减法数列求和