Question

已知函数.

（1）若在处取得极值, 求的值；

（2）讨论的单调性；

（3） 证明：为自然数的底数）.

Answer

（1）（2）详见解析（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）先求函数导数再根据极值定义有从而可得（2）要讨论函数单调性，先讨论导函数，也即函数零点情况：时，一个零点，两个单调区间；时，无零点，一个单调区间； 时，两个零点，三个单调区间（3）证明不等式，先分析结构：积，两边取对数，转化为和；

，再利用放缩得

试题解析：【解析】
（1） 是的一个极值点，则 ,

验证知符合条件.

（2） .①若时，在单调递增，在单调递减；②若得, 当时, 对恒成立, 在上单调递减 ,

③若 时, 由得,,

再令 , 可得 或,

在上单调递增,

在和上单调递减 ,

综上所述，若时， 在上单调递减，

若 时, 在上单调递增，

和上单调递减.

若时, 在上单调递增, 在上单调递减，

（3） 由（2） 知时, 在上单调递减，当时, 由

,

, .

考点：利用导数研究函数极值，利用导数研究函数单调性，利用导数证明不等式

【思路点睛】导数与函数的单调性

（1）函数单调性的判定方法：设函数y＝f（x）在某个区间内可导，如果f′（x）＞0，则

y＝f（x）在该区间为增函数；如果f′（x）＜0，则y＝f（x）在该区间为减函数.

（2）函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.