Question

如图, 多面体中, 平面,底面是菱形,, 四边形是正方形.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3） 在线段上是否存在点,使得平面,若存在, 求出的值；若不存在, 说明理由.

Answer

（1）详见解析（2） （3） 不存在

【解析】

试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平面几何知识，本题寻找线线平行比较困难，因此利用面面平行进行论证线面平行，由于有两组线线平行及，可转化为线面平行平面及平面再转化为面面平行：平面平面，（2）由菱形对角相互垂直及 平面 ，可建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角，先求出各点坐标，表示出直线方向向量，再利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求解（3）利用空间向量研究线面垂直，即转为研究直线与法向量是否平行，而存在性问题转化为对应方程是否有解

试题解析：【解析】
（1）因为是菱形, 所以.又平面平面所以平面又因为是正方形，所以.因为平面平面所以平面因为平面平面,

所以平面平面，因为平面，所以平面．

（2）因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形,取的中点，

所以，取的中点，连结，则,

因为平面，所以平面.

以为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系．因为．

所以

所以设平面法向量为

则有得令．则设与平面所成的角为，

则所以直线与所成角的正弦值为.

（3） 不存在设由

得因为平面的法向量为若平面，则，即得方程组无解，不符合题意．

综上，不存在使得平面.

考点：面面平行性质定理，线面平行判定定理，利用空间向量求线面角，利用空间向量研究存在性问题

【方法点睛】（1）探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在.（2）反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.