Question

已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间和极值；

（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围．

Answer

（1）单调递减区间为，单调递增区间为，在处，取得极小值，无极大值（2）

【解析】

试题分析：（1）先确定函数定义域，再求导数，在定义区间上求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间及极值（2）方程有解问题，可利用变量分离转化为对应函数值域问题：，利用导数求目标函数值域：先求导数，在求导函数零点，列表分析函数变换规律，得函数值域，解不等式得实数的取值范围

试题解析：【解析】
（1）函数的定义域为．

，

当时，，

令，得，

所以随的变化情况如下表：

1

0

减

极小值

增

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，在处，取得极小值，无极大值．

（2）法一：因为关于的方程有解，

令，则问题等价于函数存在零点，

所以．

令，得．

当时，对成立，函数在上单调递减，

而，

所以函数存在零点．

当时，随的变化情况如下表：

0

减

极小值

增

所以为函数的最小值，

当时，即时，函数没有零点，

当时，即时，注意到，所以函数存在零点．

综上，当或时，关于的方程有解．

法二：因为关于的方程有解，

所以问题等价于方程有解，

设函数，所以．

令，得，

随的变化情况如下表：

1

0

增

极大值

减

所以函数在处取得最大值，而，

又当时，，所以，

所以函数的值域为，

所以当时，关于的方程有解，

所以．

考点：利用导数研究函数单调区间及极值，利用导数解决方程有解问题

【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．