Question

已知圆的方程为，定直线的方程为．动圆与圆外切，且与直线相切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）直线与轨迹相切于第一象限的点，过点作直线的垂线恰好经过点，并交轨迹于异于点的点，记为（为坐标原点）的面积，求的值．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）由圆与圆外切得圆心距为半径之和，即得，用坐标表示，化简得（2）按条件依次表示点的坐标及三角形面积：设点，则由导数几何意义得切线斜率，根据垂直关系得，再由直线方程过点得，即得点坐标为，直线的方程为，最后根据直线方程与抛物线方程解出点的坐标为，计算出三角形面积

试题解析：【解析】
（1）设动圆圆心的坐标为，动圆半径为，

则，且，

可得．

由于圆在直线的上方，所以动圆的圆心应该在直线的上方，

所以有，，

整理得，即为动圆圆心的轨迹的方程．

（2）设点的坐标为，则，，

，所以直线的方程为．

又，∴，

∵点在第一象限，∴，

点坐标为，直线的方程为．

联立得，解得或4，

∴点的坐标为．

所以．

考点：直接法求轨迹方程，导数几何意义，直线与抛物线位置关系