Question

已知是矩形，平面，，分别是的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求点到平面的距离．

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明面面垂直，一般利用线面垂直进行证明，而线面垂直，一般利用线面垂直判定与性质定理，经多次转化得到，而线线垂直的寻找与论证，往往需要结合平几知识进行：如本题就可利用勾股数，直接计算得，结合等腰三角形性质得；由线面垂直平面得线线垂直，再转化到线面垂直平面，从而得面面垂直（2）求点到平面的距离，实质研究平面的垂线，由（1）得平面，所以平面，其中E,F为、中点，因此点到平面的距离等于，然后在三角形求解即可

试题解析：【解析】
（1）连，∵平面，

∴．

∴，又，

∴，又，∴．

∴，∴，

得，∴平面，

∵平面，

∴平面平面．

（2）

取中点，连，则，∴平面，

从而点与点到平面的距离相等．

取中点，连，则平行且等于，

∵平面，∴平面，

则的长为点到平面的距离．

∵平面，，

∴．

∴，

即点到平面的距离为．

考点：线面垂直判定与性质定理，点到平面距离

【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.