Question

设是函数的图象上的任意两点.

（1）当时，求的值；

（2）设，其中，求；

（3）对于（2）中的，已知，其中，设为数列的前项的和，求证

.

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由已知条件和对数的运算性质求；（2）采用倒序相加法求，再求；（3）先求出数列的通项，对进行先放缩，再裂项，即可证得，因为，所以要证，只证即可．

试题解析：（1），

（2）①

②

两式子相加得

（3），

，

，

又，， 故.

另外的放缩方法：

，

，（）

当时

（从第4项开始放缩）

检验当、、时不等式成立．

考点：1、对数的运算性质；2、数列求和．

【方法点睛】证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，常用放缩法来解决，这类问题的求解策略是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：⑴添加或舍去一些项，如：；；⑵将分子或分母放大（或缩小）；⑶利用基本不等式放缩，如：等．本题第三小题中先放缩再求和，考查学生的思维能力和计算能力，属于压轴题．