Question

设二次函数.

（1）若 求的取值范围；

（2）当时，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）把和用含有的代数式表示，联立关于的方程组解出，然后把也用含有的代数式表示，最后转化为用和表示，由和的范围求得的范围；（2）法一：对分和两种情况进行讨论，即可求出实数的取值范围；法二：分离变量，构造函数，求出函数的最值，即可求出实数的取值范围．

试题解析：（1）方法一：，

，

且 .

方法二：设，

即，比较两边系数：

，

，

下同方法一.

（2）解法1：

由于，图象的对称轴为，

（1）当时，函数在时为增函数，要在成立，而，只需，即，则，此与矛盾，此不可能．

（2）当时，

若，即，则在时为增函数，

要在成立，由于，只需，即，则，

因此；

若，即，要在成立，由于，

只须，解得；

综上，所求的的取值范围为．

解法2：

时，，即，

即时，且恒成立，

当时，显然，且均成立

当时，恒成立，则，

而在最大值为，∴

当时，恒成立，则

而在最小值为，∴，

∴，而，因此所求的的取值范围为．

考点：1、不等式的基本性质；2、函数的值域；3、函数的值．

【易错点睛】本题考查了函数值的求法，训练了利用不等式求函数的值的范围，解答第一小题的关键是把转化为含有和的表达式，此题是易错题，学生往往会直接由和的范围联立求出和的范围，然后把用的代数式表示，由和的范围求解的范围，忽略了其中和是相关联的；在第二小题中，分类讨论时容易考虑不全，本题考查不等式的基本性质，分类讨论、函数与方程的数学思想以及分析解决问题的能力，有一定的难度，属于压轴题．