Question

设函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若对任意，恒成立，求实数的最小值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）当时，求得，根据导数的几何意义求得切线斜率，由直线的点斜式方程即可求得切线方程；（2）若对任意，恒成立，分离参数可得在上恒成立，设，，利用导数研究其单调性，求得，即得实数的取值范围.

试题解析：（1）当时，，

.

则点处的切线的斜率为.

故曲线在点处的切线方程为，即，即.

（2）的定义域为，

由题意知，在上恒成立，

即在区间上恒成立.

又，所以在区间上恒成立.

设，，则.

又令，，则.

当时，，单调递减，

所以.

即在恒成立.

所以在单调递增.

所以.

故.

考点：导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和函数的恒成立问题.

【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和函数的恒成立问题，考查了转化的思想及函数的思想，属于中档题.求曲线上某点的切线方程只需要根据导数的几何意义求出切线的斜率即可写出切线的点斜式方程；对于不等式在给定区间上的恒成立问题，首选的策略是看能否分离参数，本题中因为，系数的符号是确定的，便于分离参数，把问题转化为求定函数的最值问题，利用导数研究其单调性，求得其最大值即得实数的范围.