Question

  如图，在直三棱柱中，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，，，求平面与平面所成二面角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连结，交于点，根据平行四边形的性质可知点是及的中点，由三角形的中位线定理可知，，根据线面平行的判定定理可证得平面；（2）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，根据向量夹角的余弦公式求得余弦值，再根据同角三角函数的基本关系即可求得二面角的正弦值.

试题解析：（1）证明：如图，连结，交于点，

则点是及的中点，

连结，则，

因为平面，平面，

所以平面.

（2）建立如图所示空间的直角坐标系.

则点，

则，，

设平面的法向量，则

，即，不妨设，

易得平面的一个法向量.

故，

故平面与平面所成二面角的正弦值是.

考点：空间中直线与平面平行的证明及空间向量在求空间角中的应用.