Question

已知，.

（1）若方程有三个解，试求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使函数的定义域与值域均为？若存在，求出所有的区间，若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2），及，满足条件.

【解析】

试题分析：（1）若方程有三个解，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合即可试求实数k的取值范围；（2）作出函数f（x）的图象，利用数形结合以及函数定义域和值域之间的关系进行求解即可．

试题解析：（1）若方程有三个解，

当时，方程成立，

即当是方程的一个根，

当时，等价为方程有两个不同的根，即，

设，

则，

作出函数的图象如图：

则当时，有两个不同的交点，

即此时有两个非零的根，有三个解，

综上.

（2）作出函数的图象如图：

则函数的值域为，

若使函数的定义域与值域均为，

则，且至少有两个根.

当时，即，

得或，

当时，即，

得或，

所以，区间可以为，

由图形可知，不成立，

故存在，时，即定义域为，此时函数的值域为，满足条件.

，时，即定义域为，此时函数的值域为，满足条件.

考点：根的存在性及个数判断

【方法点睛】分段函数“两种”题型的求解策略

(1)根据分段函数解析式求函数值

首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．

(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围

应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．