Question

已知函数，其中常数.

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）令，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）已知函数在上单调递增，上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得，求解即可；（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b-a的最小值．

试题解析：（1）因为，根据题意有.

（2），，

或，，

即的零点相离间隔依次为和，

故若在上至少含有30个零点，则的最小值为.

考点：正弦函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；函数的图象变换．