Question

如图所示，半径为的球内切于正三棱锥中，则此正三棱锥体积的最小值为____.

Answer

【解析】

试题分析：设正三棱锥的底面积为，侧面积为，高为，斜高为，底面边长为，内切球的半径为.由等积转换得，即，∴，∴，∴，解得，，，令得，故当时，.

考点：1、锥体的体积公式；2、内切球；3、函数的最值．

【方法点晴】本题主要考查锥体的体积公式、内切球和函数的最值，属于难题．本题先利用等体积方法得到等式，再变形得到，建立三次函数，再求导得，令得，故当时，.要求考生具有一定的函数与方程思想和转化思想．