Question

已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点且倾斜角为30°的直线与圆相交所得弦的长度为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）若动直线交椭圆于不同的两点，设，为坐标原点，当以线段为直径的圆恰好过点时，求证：的面积为定值，并求出该定值.

Answer

（1）；（2）定值为，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由离心率可得，设直线方程为，利用圆的弦长公式即可求，进而求；（2）以线段为直径的圆恰好过点所以.当直线的斜率存在时，设直线的方程为代入椭圆方程整理得，，利用弦长公式

,再求点到直线的距离 , 当直线的斜率存在时 经检验面积为定值也成立.

试题解析：（1）由题意知得，即 ①

因为直线过左焦点且倾斜角为30°，可得直线方程为

又因为直线与圆相交弦长为1，所以圆心到直线的距离

再由勾股定理得：，②

由①②联立可知

所以椭圆方程

（2）（i）当直线的斜率不存在时，，因为以线段为直径的圆恰好过点，所以即

所以，即，③

又因为点在椭圆上，所以，④

把③代入④得：

所以

（ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为

由于交于不同的两点，所以

，即

由韦达定理得：

由题意知，即，又

所以

代入整理得，⑤

又

点到直线的距离

所以，⑥

将⑤代入⑥得

综上，的面积为定值

考点：1、椭圆的方程；2、直线与曲线的位置关系；3、弦长公式；4、点到直线的距离公式；5、舍而不求法；6、三角形的面积公式.

【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的方程、直线与曲线的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式、舍而不求法、三角形的面积公式,综合性强，属于难题.本题由两个难点：1、讨论直线斜率存在情况；2、将线段为直径的圆恰好过点转会为.还应注意本题计算量较大，考生应耐心求解.