Question

如图所示几何体中，四边形和四边形是全等的等腰梯形，且平面平面，， 为线段的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角 （钝角）的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先证四边形为平行四边形为等边三角形四边形是菱形 ；（2）以所在直线分别为轴，建立坐标系，求平面的法向量和平面的一个法向 ，代入公式，并判断二面角 为钝角，故其余弦值为.

试题解析：

（1）证明：连接，由于为线段的中点，，所以，

所以四边形为平行四边形，所以，由于又由于，为等边三角形，

因此，四边形是菱形，，

又因为平面平面，且平面平面，

又由于，

（2）连接，由于四边形和四边形是全等的等腰梯形，，同理可得，又由（1）得，

因此以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示坐标系，设，

则 ，可得，则

设平面的法向量为，

由即，令，则，故取平面的一个法向量为

同理可求平面的一个法向量为

所以，

又由于二面角 为钝角，故其余弦值为

考点：1、面面垂直的性质定理；2、线面垂直的判定；3、二面角的平面角.