Question

已知点，直线，点是上的动点，过点垂直于轴的直线与线段的垂直平分线相交于点．

（1）求点的轨迹方程；

（2）若，直线与点的轨迹交于两点，试问的轨迹上是否存在两点，使得四点共圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）存在且，的无数个圆满足条件.

【解析】

试题分析：（1）借助点在线段的中垂线上建立等式并化简即可；（2）依据题设条件建立方程,通过方程有无解的分析析作出推理和判断即可.

试题解析：解: （1）设，依题意，，即．

化简整理得．

（2）把与联立，解得，，则线段的垂直平分线方程

若存在、两点，使得、、、四点共圆，则圆心必在直线上，

设圆心坐标，则半径，

圆的方程为，

将代入并整理得，

则，或或，

应有除、之外的两个根，

，且，，解得且，．

存在且，的无数个圆满足条件．

考点：(1)轨迹方程与探求方法；(2)圆的方程及简单高次方程的求解等有关知识的运用.