Question

已知函数（），．

（1）求的单调区间；

（2）证明：；

（3）证明：对任意正数，总存在，当时，都有．

Answer

（1）单调减区间是，单调增区间是；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求导，再导数值的符号建立不等式并求解即可；（2）构造函数运用导数的知识进行运算、推证即可；（3）借助（2）中的结论和题设条件进行分类推理和论证即可获解.

试题解析：解: （1），

由，解得，当时，；当时，

所以的单调减区间是，单调增区间是．

（2）设，，

由，解得，当时，；当时，．

在处取得极大值，也即最大值，因为，

所以，所以，即．

（3）由（1）知，在单调递增，又，所以当时，恒有，

即成立．又由（2）知（）恒成立，

①当时，存在，当时，有成立．

②当时，由，解得，取，则当时，有

成立．

综上，对任意正数，总存在，当时，都有．

注：若不对进行讨论，直接由，解得，取，得当时，有

成立

考点：（1）导数值的符号与单调性的关系；（2）解不等式的求解及解答能力；（3）分类整合的思想、转化化归的数学思想；（4）运算求解的能力、化归转化的能力和分析问题解决问题的能力.